バケツに水を入れて、グルグル回しても水がこぼれない

今回は、一定数の人は子供のころやったことがあるだろうということについて考えていきます。私も小学4年ぐらいで、学校のトイレ掃除の番だったとき、やった記憶があります。今回、水がこぼれない理由を説明するのはもちろんなのですが、それだけでは微妙なのでどのぐらいで回せば水がこぼれないのかについても説明したいと思います。

なぜ水がこぼれないのか、この背景には「遠心力」というものがあります。

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　図１　水を入れたバケツを回す人（右腕だけ長いですがそこはスルーしてください）

ここで、バケツに入った水の質量を $m$ 、バケツを回す腕の長さを $r$ 、その角速度を $\omega$ とします。すると図１の右側のように簡略化することができます。*1（ $X$ 軸は、反時計周りに角速度 $\omega$ で回転しており、バケツを回す腕を表す。）

このように一定の角速度で回転する座標系では、「遠心力」という慣性力が働くかのように扱い、その向きは中心 $O$ から遠ざかる向きで、その大きさは $mr\omega^{2}$ になります。（この理由についてはあとで詳しい記事を書くつもりです。）

この重力に逆らう向きに生じる「遠心力」によって、バケツに入った水はこぼれなくなるのです。*2

では、次にどのくらいで回せば水がこぼれないのかについて考えていきたいと思います。

上の議論から考えるに、水がこぼれないときというのは、 $X$ 軸方向において重力と遠心力がつり合っている（＝重力の $X$ 軸方向の成分の大きさと遠心力の大きさが等しい）、または、重力の大きさより遠心力の大きさが大きいときです。

ここで遠心力の大きさを与える式をみると $mr\omega^{2}$ であり、 $\omega$ が大きくなればなるほど遠心力の大きさが大きくなることがわかります。

よって、 $X$ 軸方向において重力と遠心力がつり合っている状態にまで、 $\omega$ を大きくしさえすれば、水はこぼれないのです。

$X$ 軸方向において重力と遠心力がつり合っている状態を式に表すと

　　　　 $mr\omega^{2}－mg \sin \omega t=0$ 　　　・・・・・・　(1.1)

です。

重力の $X$ 軸方向の成分の大きさは、一定ではなく $\omega t=\dfrac{\pi}{2}+2nπ$ ( $n$ は整数)のときに最大値をとり、その最大値は $mg$ です。（なぜなら $| \sin\omega t|≦1$ であり $\sin\omega t=1$ となるのは $\omega t=\dfrac{\pi}{2}+2n\pi$ の時だから。）