物理・数学の備忘録

物理や数学を中心に書きます

中間値の定理のおもしろい応用

中間値の定理を用いるとかなりおもしろい命題を証明できることを学んだので紹介する。その命題とは

「地球上には真裏の地点と気温が一致する地点が必ず存在する」

である。そんなことが証明できてしまうと聞いたときは驚いたが、できてしまうのである。さらに、その証明の内容は中間値の定理を知っていれば基本的に理解できる。以下にその証明を示す。

証明の方針：「中間値の定理」を使う

$\underline {中間値の定理}$

$a,b \in \mathbb{R}, \, a \lt b$ $とする$

$f:[a,b$ ] $\to \mathbb{R} \, : \,$ $連続関数とする$

$(1)f(a) \leqq f(b) \,$ のとき

$f(a) \leqq \lambda \leqq f(b) \, となる\forall \lambda \, に対しf(c)=\lambda を満たすc \in [a,b$ ] $が存在する$

$(2)f(b) \leqq f(a)$ のとき

$f(b) \leqq \lambda \leqq f(a) \, となる\forall \lambda \, に対しf(c)=\lambda を満たすc \in [a,b$ ] $が存在する$

$\underline{証明}$

$赤道と$ $[0,1$ ] $を同一視する$ *1

$x \in [0,1$ ] $\, : \,赤道上の地点$

$f(x) \, : \,地点xでの気温$

$f:[0,1$ ] $\to \mathbb{R}は連続としてよい$ *2

$また, f(0)=f(1)が成立$

$x \in [0,1$ ] $に対し$

$\overline{x} : 地点xの真裏の点(\overline{x}=x+\frac{1}{2} \quad or \quad x-\frac{1}{2})$

$を定義する$

$g(x)=f(x)-f(\overline{x}) \, とおく$

$g:[0,\frac{1}{2}$ ] $\to \mathbb{R}も連続$

$g(c)=0となるc \in [0,1$ ] $が存在することを示せばよい$

$g:[0,\frac{1}{2}$ ] $\to \mathbb{R}に対し, \underline{中間値の定理}を適用する$

$g(0)=f(0)-f(\frac{1}{2})$

$g(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-f(0)$

$このとき,g(0) \leqq g(\frac{1}{2}) \quad or \quad g(\frac{1}{2}) \leqq g(0)のどちらかが成立する$

$g(0) \leqq g(\frac{1}{2})の場合, \, g(0)=-g(\frac{1}{2})より$

$g(\frac{1}{2}) \geqq 0, \, g(0) \leqq 0$

$\therefore g(0) \leqq 0 \leqq g(\frac{1}{2})$

$よってg(c)=0となるc \in [0,\frac{1}{2}$ ] $が存在する$

$g(\frac{1}{2}) \leqq g(0)の場合でも同様に示される$

$(証明終)$

*1:赤道を0から1までの数直線(数曲線?)とみる

*2:ちょっと移動したぐらいでは気温が急激に下がったり、上がったりすることはないから

読んだ本の紹介4　『NHK「100分de名著」ブックス福沢諭吉学問のすゝめ』

『NHK「100分de名著」ブックス福沢諭吉学問のすゝめ』斎藤孝著

https://www.amazon.co.jp/NHK「100分de名著」ブックス-福沢諭吉-学問のすゝめ-齋藤-孝/dp/414081523X

この本は、福沢諭吉の『学問のすゝめ』を知らない人向けに書かれた『学問のすゝめ』の解説書・入門書である。

題名の通り100分で読めるぐらいの分量であるが、内容は厳選されているように感じた。

『学問のすゝめ』という題名は知っているが、中身は知らないという人にはぜひ読んでもらって原著を読むための足掛かりとするとよいと思う。

また、福沢諭吉の生きざまについても触れられており、そこもとても興味深いので、ぜひ読んでみてほしい。

読んだ本の紹介３　『池上彰の講義の時間高校生からわかる「資本論」』

『池上彰の講義の時間高校生からわかる「資本論」』池上彰著

https://www.amazon.co.jp/高校生からわかる「資本論」-池上彰の講義の時間-池上-彰/dp/4834251594

この本は、マルクスの『資本論』を全く読んだことのない人にもわかるように書かれた『資本論』の解説書のような本である。実際、経済学を特に学んだこともない私でもこの本に書かれている内容は十分に理解できた。

共産主義を掲げたソ連の崩壊から、資本主義は共産主義を圧倒したという考えは少しずれていることがわかって、興味深かった。

また、100年以上前にマルクスが予想したことが現実に起こったということには単純に驚いた。

読んだ本の紹介２　『「慰安婦」問題とは何だったのか―メディア・NGO・政府の功罪』

『「慰安婦」問題とは何だったのか―メディア・NGO・政府の功罪』大沼保昭著

https://www.amazon.co.jp/「慰安婦」問題とは何だったのか―メディア・NGO・政府の功罪-中公新書-大沼-保昭/dp/4121019008

この本は、著者が財団法人女性のためのアジア平和国民基金（略称：アジア女性基金）の一員として「慰安婦」問題に取り組み、その基金の解散に伴い問題について振り返っているものである。

この手の本にありがちな片方に偏っていて、感情的になっている感じはあまりなく、淡々と「慰安婦」問題について知ることができた。

テレビやネットではあまり知ることができない、当事者の率直な言葉が見れた気がした。

読んだ本の紹介１　『心は孤独な数学者』

『心は孤独な数学者』藤原正彦著

https://www.amazon.co.jp/心は孤独な数学者-新潮文庫-藤原-正彦/dp/4101248060

この本は、ニュートン・ハミルトン・ラマヌジャンの3人の数学者の人生について、数学者である著者が調べ、書き上げたものである。

しかし、一般的な数学史の本とは違い，著者の考えが多めにかかれていたり、その3人の故郷に訪れた際のエピソードが書かれており、こだわりが感じられる。

また、タイトルにあるように『心は「孤独」な数学者』であり、3人とも数学において輝かしい業績をもっており、とても恐れ多く感じる人物であるが、その人間っぽい部分が垣間見えた気がした。

基本情報技術者試験の参考書

実際に自分が使ったことのある参考書でおすすめのものについて説明していく。

①キタミ式イラストIT塾　基本情報技術者　平成30年度（情報処理技術者試験）

（この本は、おそらく毎年新しいものが出るので最新のものを買うことをおすすめする。）

自分はイラストが入った参考書が少し苦手だが、この本は丁度よくイラストが入っているように感じた。むしろイラストのおかげで、学習の途中で息抜きができて良かった。

イラストが入っているから中身が薄いかといえば、そうではなく、きちんと試験に出るところを網羅していると思った。（しかし、この本に試験に出るすべてのことが載っているわけではない）

ほかにも午前試験対策の本はあるが、選択肢のひとつには入るだろう。

②改訂3版　基本情報技術者　らくらく突破　表計算（情報処理技術者試験）

表計算の問題に出てくる関数等についてのわかりやすい説明とそれを使った時の例が逐一書かれていて、一歩一歩着実に学べている感じがあってよかった。

無駄がなく、的確に書かれているように感じた。

あと、MS Excelと試験仕様表計算ソフトの違いについて書かれているので、試験勉強で学んだことを実際に使えるよう考慮している点もよいと思った。

ここまで参考書の紹介をしてきたが、他にももちろん良い参考書はあるし、そして相性の良い本は人それぞれなので、本屋等でぜひ読み比べてほしい。

　

平成30年度秋期　基本情報技術者試験を受けてみた

せっかくのことなので、思い立ってから受験までの体験談を残しておく。

7月、情報系のことについて一度腰を据えて勉強してみようかなと思い、受けてみようかなと漫然と思う。

8月上旬、思い立って申し込み期限の数日前に申し込む。

8月中旬、試験対策は全くせず、他のことをしていた。

8月下旬、そろそろ試験対策の本を手に入れておこうと思い、大きな書店に行って購入。

買った本は、『キタミ式イラストIT塾　基本情報技術者　平成30年度』、『改訂3版　基本情報技術者試験　 C言語の切り札』、『うかる！基本情報技術者［午後・アルゴリズム編］2018年度（福嶋先生の集中ゼミ）』の３つ。

9月上旬～中旬、「キタミ式」を1周終える。「基本情報技術者ドットコム」で午前の過去問を解き始める。

9月下旬、「C言語の切り札」を読み始め、C言語についての知識の部分を読み終え、その本にあるC言語の過去問を解いてみるも、なかなかきついことが判明。

10月上旬～中旬、午前問題を確実にこなすため、「キタミ式」の2週目をやる。午後のアルゴリズム問題対策のために、「福嶋先生の集中ゼミ」を読む。ここで、「C言語」ではなく、「表計算」を選択することにする。

試験1週間前、「表計算」の本が届き、三日ほどかけてその本をじっくり読みこむ。その本は『改訂3版　基本情報技術者　らくらく突破　表計算』。午後試験の過去問（アルゴリズム、プログラミング言語以外）をやる。午前試験の過去問もちょこちょこやる。

試験当日、午前試験は150分だが、早めに退出する人は多く、自分も残り30分ぐらいで退出した。

午後試験は、「ネットワーク」、「ソフトウェア設計」、「プロジェクトマネジメント」、「システム戦略」の４つ（その場で解けそうと思ったものを選んだ）と「表計算」を選択。150分まるまる使った。途中退室した人はちらほらいたが、少なかった。*1

試験から1か月後、合格発表があった。無事合格することができた。

振り返ってみると、

・自分は、パソコンに良く触れる人でもなく、ましてやプログラミングを今までやってきたことないのですが、この試験を通してちょっとは詳しくなれたのかなと思った。

・「キタミ式」でやる午前試験の勉強は結構面白かった。

・「キタミ式」のような本で、知識をしっかり頭に入れ、プログラミング言語の問題とアルゴリズムの問題のどちらかにある程度の自信が持てる程度までいければ、プログラミング経験などがなくとも合格できると思う。

・午後試験のプログラミング言語とアルゴリズムの問題以外は、午前問題の対策をしっかりやれば大丈夫な気がする。

・C言語は、じっくり時間をかけてこれからやっていこうと思う。

*1:午前試験だけ受けて、午後試験に来ない人がちらほらいた